Cinemática 3D
Exercicio
A ecuación de movemento dun móbil é:
Debuxa a traxectoria que describe o móbil entre os instantes e s. ¿Que posición ocupa aos 3 segundos de comezar o movemento? ¿Canto valen a súa velocidade e a súa aceleración nese instante?
Declaramos como variable e escribimos as ecuacións das coordenadas , e en función do tempo:
var('t') x(t) = 6 - 2*t y(t) = 3 + 4*t - 6*t^2 z(t) = -1 - 3*t + 2*t^2
Calculamos as coordenadas , e do vector derivando, respectivamente, , e con respecto ao tempo:
vx(t) = derivative(x(t), t) vy(t) = derivative(y(t), t) vz(t) = derivative(z(t), t)
e calculamos o seu módulo:
modulo_v(t) = sqrt(vx(t)^2 + vy(t)^2 + vz(t)^2)
De xeito análogo calculamos as compoñentes e o módulo da aceleración en función do tempo:
ax(t) = derivative(x(t), t, 2) ay(t) = derivative(y(t), t, 2) az(t) = derivative(z(t), t, 2) modulo_a(t) = sqrt(ax(t)^2 + ay(t)^2 + az(t)^2)
Creamos dúas variables, e , que indican os valores do tempo entre os que representaremos a traxectoria:
tmin = 0 tmax = 5
Por claridade, engadimos os puntos inicial (para t=) e final (para t=) do movemento:
P_inicial = point3d((x(tmin), y(tmin), z(tmin)), size=20, color='green') P_final = point3d((x(tmax), y(tmax), z(tmax)), size=20, color='red')
e creamos a gráfica da traxectoria entre os ditos valores do tempo:
traxectoria = parametric_plot3d((x(t), y(t), z(t)), (t, tmin, tmax), thickness=8)
Damos un valor concreto ao tempo, que será o instante co que traballaremos a partir de agora:
t = 3
Creamos o punto P a partir das coordenadas , e no instante considerado:
P = point3d((x(t), y(t), z(t)), size=20, color='orange')
e presentamos por pantalla a traxectoria e os puntos:
show(traxectoria + P_inicial + P_final + P)
Por último mostramos os valores da posición, velocidade e aceleración no instante considerado:
print "Para t =", t, "s:" print print "Posición:" print "\tx =", x(t), "m" print "\ty =", y(t), "m" print "\tz =", z(t), "m" print print "Velocidade:" print "\tvx =", vx(t), "m/s" print "\tvy =", vy(t), "m/s" print "\tvz =", vz(t), "m/s" print "\tMódulo da velocidade =", n(modulo_v(t), digits=3), "m/s" print print "Aceleración:" print "\tax =", ax(t), "m/s^2" print "\tay =", ay(t), "m/s^2" print "\taz =", az(t), "m/s^2" print "\tMódulo da aceleracion =", n(modulo_a(t), digits=3), "m/s^2"
Proba e modifica o código con distintos valores do tempo e distintas ecuacións do movemento: